Сборник заданий ЕГЭ по математике
ЕГЭ 19 • Комбинаторика и нестандартные задачи • №344196
В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?
ЕГЭ 17 • Параллелограмм • №344194
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD=6 и KT=3.
Решите задачу полностью, а затем выберите ответ только на пункт (б).
ЕГЭ 16 • Кредиты • №344193
15 декабря планируется взять кредит в банке на S тысяч рублей на 32 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа первый и последний месяцы долг должен уменьшаться на 250 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на x тысяч рублей.
Найдите S (в тыс. руб), если всего было выплачено банку 2660 тысяч рублей.
ЕГЭ 14 • Призма • №344191
Основание прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 - прямоугольный треугольник ABC с прямым углом A, боковая грань AA1CC1 - квадрат.
а) Докажите, что прямые CB1 и AC1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между этими прямыми, если AC=2, AB1=2√3.
Решите задачу полностью, а затем выберите ответ только на пункт (б).
ЕГЭ 15 • Логарифмические неравенства • №344190
Решите неравенство: 
ЕГЭ 19 • Теория чисел • №338662
На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зелёные (каждое из чисел имеет либо красный, либо зелёный цвет). Красные числа кратны 8, а зелёные числа кратны 3. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зелёные. Но между красными и зелёными могут быть одинаковые.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше 1395, если на доске написаны только числа, кратные трём? (1395=3+6+9+…+90)
б) Может ли сумма чисел быть 1066, если только одно число красное?
в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1066.
ЕГЭ 18 • Параметры • №333317
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
ЕГЭ 12 • Исследование степенных и иррациональных функций • №324481
Найдите точку минимума функции 
ЕГЭ 12 • Исследование показательных и логарифмических функций • №324480
Найдите наибольшее значение функции 
на отрезке 
.
ЕГЭ 12 • Исследование показательных и логарифмических функций • №324479
Найдите наибольшее значение функции на отрезке .